已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+t，是否存在实数t，使得曲线y=g（x）与x轴有两个交点，若存在，求-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+t，是否存在实数t，使得曲线y=g（x）与x轴有两个交点，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx-3，
因为f（x）在x=1和x=3处取得极值，
所以x=1和x=3是f′（x）=0的两个根，…（2分）
∴

1+3=-

2b

3a

1×3=-

3

3a

即

a=-

1

3

b=2

，∴f(x)=-

1

3

x3+2x2-3x…（5分）
（Ⅱ）g′（x）=-x²+4x-3，令g′（x）=0，∴x=3或x=1．…（7分）
当x变化时，g′（x），g（x）变化情况如下表：

由上表可知：g（x）_极大值=g（3）=t；g(x)极小值=g(1)=t-

4

3

…（9分）
∵g(x)=-

1

3

x3+2x2-3x+t=-

1

3

x(x-3)2+t，∴由此可知x取足够大的正数时，有g（x）＜0；x取足够小的负数时，有g（x）＞0，…（10分）
因此，为使曲线y=g（x）与x轴有两个交点，结合g（x）的单调性，
必有：g（x）_极大值=g（3）=t=0，或g(x)极小值=g(1)=t-

4

3

=0 ，∴t=0或t=

4

3

所以存在t且t=0，或t=

4

3

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值．..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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