定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①f（10）=1，②对任意实数b，f（xb）=bf（x）．（1）求f（1），f（12），f（14），及满足f（k-1002）=lg1002的k值；（2）证明对任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y-数学试题及答案

1、试题题目：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①f（10）=1，②对任意实数b，f（xb）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：
①f（10）=1，
②对任意实数b，f（x^b）=bf（x）．
（1）求f（1），f（

1

2

），f（

1

4

），及满足f（k-1002）=lg1002的k值；
（2）证明对任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）证明f（x）是（0，+∞）上的增函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵对任意实数b，f（x^b）=bf（x），f（10）=1，
∴f（1）=f（10⁰）=0×1=0，
f（

1

2

）=f（10^lg

1

2

）=lg

1

2

×1=lg

1

2

f（

1

4

）=f[（

1

2

）²]=2f（

1

2

）=2lg

1

2

．
因为f（k-1002）=f（10^{lg（k-1002）}）=lg（k-1002）=lg1002
∴k=2004．
（2）设x，y∈（0，+∞），
当x≠1时，
f（xy）=f（x?xlogxy）
=x1+logxy
=（1+log_xy）f（x）
=f（x）+log_xy?f（x）
=f（x）+f（xlogxy）
=f（x）+f（y）．
当x=1时，因为f（1）=0也适合，
故对任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）因为x＞1时，
f（x）=f（10^lgx）=lgx?f（x）=lgx＞0，
设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，所以f（

x2

x1

）＞0．
由（2）知f（x₂）=f（

x2

x1

?x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）＞f（x₁），
所以f（x）是（0，+∞）上的增函数

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①f（10）=1，②对任意实数b，f（xb）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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