已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足条件：①f（x?y）=f（x）+f（y）②f（2）=1③当x＞1时，f（x）＞0（1）求f（1）的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）求满足f（x）+f（2x）≤2的x的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足条件：①f（x?y）=f（x）+f（y）②..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足条件：
①f（x?y）=f（x）+f（y） ②f（2）=1 ③当x＞1时，f（x）＞0
（1）求f（1）的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）求满足f（x）+f（2x）≤2的x的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）在①中令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）故 f（1）=0 …（2分）
（2）在①中令y=

1

x

，得f（1）=f（x）+f（

1

x

）=0
即f（

1

x

）=-f（x），
函数f（x）在（0，+∞）上的单调递增，理由如下：
任取x₁，x₂，设x₂＞x₁＞0，
∴

x2

x1

＞1
∵当x＞1时，f（x）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（

1

x1

）=f（

x2

x1

）＞0 …（6分）
f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，…（8分）
（3）由f（2）=1，得2f（2）=2=f（2）+f（2）=f（4）…（9分）
∴f（x）+f（2x）≤2可化为

x＞0

2x＞0

x?2x≤4

解得0＜x≤

2

．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足条件：①f（x?y）=f（x）+f（y）②..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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