已知函数f(x)=-x3+x2+bx+c，x＜1alnx，x≥1的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．（1）求实数b，c的值；（2）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=-x3+x2+bx+c，x＜1alnx，x≥1的图象过坐标原点O，且在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

-x3+x2+bx+c，x＜1

alnx， x≥1

的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（1）求实数b，c的值；
（2）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当x＜1时，f（x）=-x³+x²+bx+c，
∴f′（x）=-3x²+2x+b．…（2分）
依题意f′（-1）=-5，
∴-3（-1）²+2（-1）+b=-5，∴b=0，
∴f（0）=0，∴c=0，
∴b=0，c=0．…（4分）
（2）当x＜1时，f（x）=-x³+x²，
f′（x）=-3x²+2x，令f′（x）=0，有-3x²+2x=0，∴x=0，x=

2

3

．…（6分）

x

-1

（-1，0）

0

（0，

2

3

）

2

3

（

2

3

，1）

1

f′（x）

-

0

+

0

-

f（x）

2

↘

↗

↘

…（8分）
f（-1）=2；f（0）=0；f（

2

3

）=

4

27

；f（1）=0．
∴当x∈[-1，1）时，f（x）最大值为2．…（9分）
当x∈[1，2]时，
当a＜0时，f（x）是减函数；当a=0时，f（x）=0，此时f（x）_max=0；…（10分）
当a＞0时，f（x）是增函数，f（x）_max=f（2）=aln2．…（11分）
∵当a≤

2

ln2

时，有2≥aln2，f（x）_max=2，
当a＞

2

ln2

时，有2＜aln2，f（x）_max=aln2．…（12分）
∴f(x)max=

2，(a≤

2

ln2

)

aln2，(a＞

2

ln2

)

．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=-x3+x2+bx+c，x＜1alnx，x≥1的图象过坐标原点O，且在..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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