设y=f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上任意两个实数x1，x2都有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]成立，则f（x）称为I上的凹函数．（1）判断f(x)=3x(x＞0)是否为凹函数？（2）已知函数f2（x）-数学试题及答案

1、试题题目：设y=f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上任意两个实数x1，x2都有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

设y=f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上任意两个实数x₁，x₂都有f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，则f（x）称为I上的凹函数．
（1）判断f(x)=

3

x

(x＞0)是否为凹函数？
（2）已知函数f₂（x）=x|ax-3|（a≠0）为区间[3，6]上的凹函数，请直接写出实数a的取值范围（不要求写出解题过程）；
（3）设定义在R上的函数f₃（x）满足对于任意实数x，y都有f₃（x+y）=f₃（x）?f₃（y）．求证：f₃（x）为R上的凹函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）是凹函数，证明如下：
?x₁，x₂∈（0，+∞），∵

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

1

2

(

3

x1

+

3

x2

)≥

3

x1x2

≥

3

x1+x2

2

=f(

x1+x2

2

)
∴f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]，
∴f(x)=

3

x

(x＞0)是凹函数
（2）∵函数f₂（x）=x|ax-3|=

ax2-3x ax≥3

-ax2+3x ax＜3

结合二次函数的图象，要想使函数f₂（x）为区间[3，6]上的凹函数，需a＜0或

a＞0

3

a

≤3

∴a的取值范围为（-∞，0）∪[1，+∞）
（3）证明：设?x₁，x₂∈R
f3(x1)+f3(x2)=f3(

x1

2

+

x1

2

)+f3(

x2

2

+

x2

2

)
=f32(

x1

2

)+f32(

x2

2

)≥2f3(

x1

2

)?f3(

x2

2

)=2f3(

x1+x2

2

)
即

f3(x1)+f3(x2)

2

≥f3(

x1+x2

2

)
故f₃（x）为R上的凹函数

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设y=f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上任意两个实数x1，x2都有..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：