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1、试题题目:已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y都有f(xy)..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)>0,f(4)=1,
(1)求证:f(1)=0;
(2)求f(
1
16
);
(3)解不等式f(x)+f(x-3)≤1.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:分段函数与抽象函数



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(1)证明:令x=4,y=1,则f(4)=f(4×1)=f(4)+f(1).
∴f(1)=0.
(2)f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(1)=f(
1
16
×16)=f(
1
16
)+f(16)=0,
故f(
1
16
)=-2.
(3)设x1,x2>0且x1>x2,于是f(
x1
x2
)>0,
∴f(x1)=f(
x1
x2
×x2)=f(
x1
x2
)+f(x2)>f(x2).
∴f(x)为x∈(0,+∞)上的增函数.
又∵f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]≤1=f(4),
x>0
x-3>0
x(x-3)≤4
?3<x≤4.
∴原不等式的解集为{x|3<x≤4}.
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y都有f(xy)..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中分段函数与抽象函数”。


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