已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x＜0时，f（x）＜0．（1）判断并证明f（x）的单调性和奇偶性（2）是否存在这样的实数m，当θ∈[0，π2]时，使不等-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x₁，x₂都满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x＜0时，f（x）＜0．
（1）判断并证明f（x）的单调性和奇偶性
（2）是否存在这样的实数m，当θ∈[0，

π

2

]时，使不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0
对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x=y=0，有f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x，有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．
在R上任取x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，由题意知f（x₁-x₂）＜0，则f（x₁-x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）是增函数．
（2）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0，
只须 f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]＞-f(3+2m)=f(-3-2m)．
又由f（x）为单调增函数有 sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

＞-3-2m．
令t=sinθ+cosθ，则sin2θ=t²-1，∵θ∈[0，

π

2

]，∴t=

2

sin(θ+

π

4

)∈[1，

2

]．
原命题等价于 t2-1-(m+2)t-

4

t

+3+2m＞0对t∈[1，

2

] 恒成立，
∴(2-t)m＞2t-t2+

4

t

-2，即m＞

t(2-t)+

2

t

(2-t)

2-t

=t+

2

t

，
令g(t)=t+

2

t

，g(t)在[1，

2

]上为减函数，故 g（t）的最大值为3，∴m＞3时，原命题成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）+..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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