一束光线从点F1（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．（1）求P点的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端-数学试题及答案

1、试题题目：一束光线从点F1（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

一束光线从点F₁（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F₂（1，0）．
（1）求P点的坐标；
（2）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆C的方程；
（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设F₁关于l的对称点为F（m，n），则

n

m+1

=-

1

2

且2?

m-1

2

-

n

2

+3=0，
解得m=-

9

5

，n=

2

5

，即F(-

9

5

，

2

5

)．
由

x+7y-1=0

2x-y+3=0

，解得P(-

4

3

，

1

3

)．
（2）因为PF₁=PF，根据椭圆定义，得2a=PF₁+PF₂=PF+PF₂=FF₂
=

(-

9

5

-1)2+(

2

5

-0)2

=2

2

，所以a=

2

．又c=1，
所以b=1．所以椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（3）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），
使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有k_Qt?k_Qs=k（k为定值），
即

y

x-s

?

y

x-t

=k，将y2=1-

x2

2

代入并整理得
(k+

1

2

)x2-k(s+t)x+kst-1=0（*）
．由题意，（*）式对任意x∈（-

2

，

2

）恒成立，
所以

k+

1

2

=0

k(x+t)=0

kst-1=0

，
解之得

k=-

1

2

s=

2

t=-

2

或

k=-

1

2

s=-

2

t=

2

．
所以有且只有两定点（

2

，0），（-

2

，0），
使得k_Qt?k_Qs为定值-

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“一束光线从点F1（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：