如图，ABCD是一块边长为2a的正方形铁板，剪掉四个阴影部分的小正方形，沿虚线折叠后，焊接成一个无盖的长方体水箱，若水箱的高度x与底面边长的比不超过常数k（k＞0）．（1）写出水-数学试题及答案

1、试题题目：如图，ABCD是一块边长为2a的正方形铁板，剪掉四个阴影部分的小正..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

如图，ABCD是一块边长为2a的正方形铁板，剪掉四个阴影部分的小正方形，沿虚线折叠后，焊接成一个无盖的长方体水箱，若水箱的高度x与底面边长的比不超过常数k（k＞0）．
（1）写出水箱的容积V与水箱高度x的函数表达式，并求其定义域；
（2）当水箱高度x为何值时，水箱的容积V最大，并求出其最大值．

试题来源：崇文区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由水箱的底面边长为2a-2x，高为x，得V=（2a-2x）²?x=4x?（a-x）²，
∵

0＜x＜a

x

2a-2x

≤k

∴

0＜x＜a

0＜x≤

2ak

1+2k

.

又a-

2ak

1+2k

=

a

1+2k

＞0，0＜x≤

2ak

1+2k

，
∴故定义域为{x|0＜x≤

2ak

1+2k

}．（5分）

（Ⅱ）∵V=4x?（a-x）²=4x³-8ax²+4a²x，
∴V′=12x²-16ax+4a²，
令V′=0，得x=

a

3

，或x=a（舍）
若

a

3

≤

2ak

1+2k

，即k≥

1

4

时，

∴当x=

a

3

时，V取得最大值，且最大值为

16

27

a3．
若

a

3

＞

2ak

1+2k

，即0＜k＜

1

4

时，V′（x）=12x²-16ax+4a²＞0，
∴V在(0，

2ak

1+2k

]上是增函数，
∴当x=

2ak

1+2k

时，V取得最大值，且最大值为

8k

(1+2k3)

a3．
综上可知，当k≥

1

4

时，x=

a

3

，水箱容积V取最大值

16

27

a3；
当0＜k＜

1

4

时，x=

2ak

1+2k

，水箱容积V取最大值

8k

(1+2k3)

a3．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，ABCD是一块边长为2a的正方形铁板，剪掉四个阴影部分的小正..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：