若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P．（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由．①y=ax（a＞1）；②y=x3．（Ⅱ）若函数f（x）具有性质P，且f（-数学试题及答案

1、试题题目：若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P．
（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由．
①y=a^x（a＞1）； ②y=x³．
（Ⅱ）若函数f（x）具有性质P，且f（0）=f（n）=0（n＞2，n∈N^*），
求证：对任意i∈{1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0．若成立给出证明，若不成立给出反例．

试题来源：西城区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）①函数f（x）=a^x（a＞1）具有性质P．…（1分）
f(x-1)+f(x+1)-2f(x)=ax-1+ax+1-2ax=ax(

1

a

+a-2)，
因为a＞1，ax(

1

a

+a-2)＞0，…（3分）
即f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），
此函数为具有性质P．
②函数f（x）=x³不具有性质P．…（4分）
例如，当x=-1时，f（x-1）+f（x+1）=f（-2）+f（0）=-8，2f（x）=-2，…（5分）
所以，f（-2）+f（0）＜f（-1），
此函数不具有性质P．
（Ⅱ）假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n-1）中第一个大于0的值，…（6分）
则f（i）-f（i-1）＞0，
因为函数f（x）具有性质P，
所以，对于任意n∈N^*，均有f（n+1）-f（n）≥f（n）-f（n-1），
所以f（n）-f（n-1）≥f（n-1）-f（n-2）≥…≥f（i）-f（i-1）＞0，
所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+…+[f（i+1）-f（i）]+f（i）＞0，
与f（n）=0矛盾，
所以，对任意的i∈{1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0．…（9分）
（Ⅲ）不成立．
例如f(x)=

x(x-n)x为有理数

x2 x为无理数.

…（10分）
证明：当x为有理数时，x-1，x+1均为有理数，f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）²+（x+1）²-2x²-n（x-1+x+1-2x）=2，
当x为无理数时，x-1，x+1均为无理数，f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）²+（x+1）²-2x²=2
所以，函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），
即函数f（x）具有性质P．…（12分）
而当x∈[0，n]（n＞2）且当x为无理数时，f（x）＞0．
所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0”不成立．…（13分）
（其他反例仿此给分．
如f(x)=

0 (x为有理数)

1 (x为无理数)

，f(x)=

0 (x为整数)

1 (x为非整数)

，f(x)=

0 (x为整数)

x2 (x为非整数)

，等．）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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