已知f(x)=3+x1+x2，0≤x≤3f(3)，x＞3.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）-a=0恰有一个实数解，求实数a的取值范围；（3）已知数列{an}满足：0＜an≤3，n∈N*，且a1+a2+a-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(x)=3+x1+x2，0≤x≤3f(3)，x＞3.（1）求函数f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知f(x)=

3+x

1+x2

，0≤x≤3

f(3)，x＞3.

（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）-a=0恰有一个实数解，求实数a的取值范围；
（3）已知数列{an}满足：0＜an≤3，n∈N*，且a1+a2+a3+…a2009=

2009

3

，若不等式f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）时恒成立，求实数p的最小值．

试题来源：杭州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当x＞3时，f(x)=f(3)=

3

5

是常数，不是单调函数；
当0≤x≤3时，f（x）=

3+x

1+x2

，
令f'（x）＞0解得x∈（0，

10

-3）
与f'（x）＜0解得x∈（

10

-3，3）
∴f（x）的单调增区间是（0，

10

-3）
f（x）的单调减区间是（

10

-3，3）
（2）由（1）知，f(0)=3，f(x)max=f(

10

-3)=

1

2(

10

-3)

=

10

+3

2

，f(3)=

3

5

则方程f（x）-a=0恰有一个实数解
表示直线y=a与函数f（x）的图象有且只有一个交点
则

3

5

＜a＜3，或a=

10

+3

2

（3）a1=a2=…=a2009=

1

3

时f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）=6027
f（x）=

3+x

1+x2

在x=

1

3

处的切线为y=

3

10

(11-3x)
则有f(x)=

3+x

1+x2

≤

3

10

(11-3x)?(x-3)(x-

1

3

)2≤0成立
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）≤6027
设g（x）=x-ln（x-p），g'（x）＞0解得x＞p+1
g'（x）＜0解得p＜x＜p+1，∴g（x）的最小值为p+1
只需p+1≥6027
∴p的最小值为6026

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(x)=3+x1+x2，0≤x≤3f(3)，x＞3.（1）求函数f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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