已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（-1）=-2，求f（x）在区间[-2，1]上的值域．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（-1）=-2，求f（x）在区间[-2，1]上的值域．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0
∵f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
即∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）为增函数．
在条件中，令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），
再令x=y=0，则f（0）=2 f（0），
∴f（0）=0，故f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数，
∴f（1）=-f（-1）=2，又f（-2）=2f（-1）=-4，
∴f（x）的值域为[-4，2]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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