如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求异面直线EF与BC所成的角；（2）求三棱锥C-B1D1F的体积．-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为线段DD₁，BD的中点．
（1）求异面直线EF与BC所成的角；
（2）求三棱锥C-B₁D₁F的体积．

试题来源：黄埔区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
∵在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为线段DD₁，BD的中点，
∴E（0，0，1），F（1，1，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
∴

EF

=（1，1，-1），

BC

=（-2，0，0），
设异面直线EF与BC所成的角为θ，
魔方格

则cosθ=|cos＜

EF

，

BC

＞|=|

-2

3

×2

|=

3

，
∴异面直线EF与BC所成的角为arccos

3

．
（2）∵在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为线段DD₁，BD的中点，
∴S△B1D1C=

1

2

×B1D1×B1C=

1

2

×2

2

×2=2

2

，
∵B₁（2，2，2），D₁（0，0，2），C（0，2，0），F（1，1，0），
∴

D1B1

=(2，2，0)，

D1C

=（0，2，-2），

D1F

=(1，1，-2)，
设平面D₁B₁C的法向量

n

=（x，y，z），则

n

?

D1B1

=0，

n

?

D1C

=0，
∴

2x+2y=0

x+y-2z=0

，解得

n

=（1，-1，0），
∴点F到平面D₁B₁C的距离d=

|

n

?

D1C

|

n

|

=

|0-2+0|

2

=

2

，
∴三棱锥C-B₁D₁F的体积V=

1

3

d×S△D1B1C=

1

3

×

2

×2

2

=

4

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：