在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=23，M、N分别为AB、SB的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥N-BCM的体积．-数学试题及答案

1、试题题目：在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，S..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

3

，M、N分别为AB、SB的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥N-BCM的体积．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：取AC中点O，连结OS、OB．
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO且AC⊥BO．
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥面ABC，
∴SO⊥BO．
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz．
则A(2，0，0)，B(0，2

3

，0)，C（-2，0，0），S(0，0，2

2

)，M(1，

3

，0)，N(0，

3

，

2

)．
∴

AC

=(-4，0，0)

SB

=(0，2

3

，-2

2

)，
∵

AC

?

SB

=(-4，0，0)?(0，2

3

，-2

2

)=0，
∴AC⊥SB．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

CM

=(3，

3

，0)，

MN

=(-1，0，

2

)，
设

n

=(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则

CM

?

n

=3x+

3

y=0，

MN

?

n

=-x+

2

z=0，所以可取

n

=(

2

，-

6

，1)．又

OS

=(0，0，2

2

)为平面ABC的一个法向量，
∴cos(

n

?

OS

)=

n

?

OS

|

n

|?|

OS

|

=

1

3

，
∴二面角N-CM-B的余弦值为

1

3

．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知OS=2

2

，∴N到平面ABC的距离为

1

2

OS=

2

，
而△CBM的面积为

1

2

×

3

4

×42=2

3

，
∴三棱锥N-BCM的体积为VN-BCM=

1

3

×2

3

×

2

=

2

6

3

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，S..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：