定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x1、x2∈D都有|f（x1）-f（x2）|＜1，则称函数y=f（x）为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”．试问函数f（x）=x3-x+α（x∈[-1，1]，α∈R）是否为“妈祖-数学试题及答案

1、试题题目：定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x1、x2∈D都有|f（x1）-f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x₁、x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，则称函数y=f（x）为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”．试问函数f（x）=x³-x+α（x∈[-1，1]，α∈R）是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

因为|f（x₁）-f（x₂）|＜|f_max-f_min|，
函数f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]导数是f′（x）=3x²-1
当3x²-1=0时，即x=±

3

，当0＜x＜

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时，f′（x）=3x²-1＜0，当x＞

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时，
f′（x）=3x²-1＞0，故f（x）在x∈[0，1]内的极小值是a-

2

3

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，同理，
f（x）在[-1，0]内的极大值是a+

2

3

9

，因为f（1）=f（-1）=a，
所以函数f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]的最大值是a+

2

3

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，最小值是a-

2

3

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，
故|f（x₁）-f（x₂）|＜|f_max-f_min|=

4

3

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＜1
所以函数f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]是“妈祖函数”．（2分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x1、x2∈D都有|f（x1）-f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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