设函数f(x)=|1-1x|，x＞0，（1）证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1；（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜1）在曲线y=f（x）上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式（用-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=|1-1x|，x＞0，（1）证明：当0＜a＜b，且f（a）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=|1-

1

x

|，x＞0，
（1）证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1；
（2）点P （x₀，y₀）（0＜x₀＜1 ）在曲线y=f（x）上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式（用x₀表达）．

试题来源：广东试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（I）∵f(x)=|1-

1

x

|=

1

x

-1，x∈(0，1]

1-

1

x

，x∈(1，+∞)

故f（x）在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0＜a＜b且f（a）=f（b）得0＜a＜1＜b和

1

a

-1=1-

1

b

，即

1

a

+

1

b

=2?2ab=a+b＞2

ab

故

ab

＞1，即ab＞1
（II）0＜x＜1时，y=f(x)=|1-

1

x

|=

1

x

-1，∴f′(x0)=-

1

x

20

，0＜x0＜1
曲线y=f（x）在点P（x₀，y₀）处的切线方程为：y-y0=-

1

x

20

(x-x0)，即y=-

x

20

+

2-x0

x0

∴切线与x轴、y轴正向的交点为(x0(2-x0)，0)和(0，

1

x0

(2-x0))
故所求三角形面积听表达式为：A (x0)=

1

2

x0(2-x0)?

1

x0

(2-x0)=

1

2

(2-x0)2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=|1-1x|，x＞0，（1）证明：当0＜a＜b，且f（a）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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