设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=（1+λ）-λan，其中λ为常数，且λ≠-1，0，n∈N+（1）证明：数列{an}是等比数列．（2）设数列{an}的公比q=f（λ），数列{bn}满足b1=12，bn=f（bn-1）（n∈N+，n≥-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=（1+λ）-λan，其中λ为常数，且λ≠-1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（1+λ）-λa_n，其中λ为常数，且λ≠-1，0，n∈N⁺
（1）证明：数列{a_n}是等比数列．
（2）设数列{a_n}的公比q=f（λ），数列{b_n}满足b1=

1

2

，b_n=f（b_n-1）（n∈N⁺，n≥2），求数列{b_n}的通项公式．
（3）设λ=1，Cn=an(

1

bn

-1)，数列{C_n}的前n项和为T_n，求证：当n≥2时，2≤T_n＜4．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：
由 S_n=（1+λ）-λa_n，①
得 S_n+1=（1+λ）-λa_n+1，②（n∈N⁺）
②-①得S_n+1-S_n=-λa_n+1+λa_n，
即a_n+1=-λa_n+1+λa_n，
移向整理得（1+λ）a_n+1=λa_n，
∵λ≠-1，0，又得a_n+1

an+1

an

=

λ

1+λ

，是一个与n无关的非零常数，
∴数列{a_n}是等比数列．

（2）由（1）可知q=f（λ）=

λ

1+λ

，∴b_n=f（b_n-1）=

bn-1

1+bn-1

两边取倒数得出

1

bn

=

1+bn-1

bn-1

=

1

bn-1

+1，移向得出

1

bn

-

1

bn-1

=1 （n∈N⁺，n≥2），
∴{

1

bn

}是等差数列，且首项

1

b1

=2，公差为1．
由等差数列通项公式求得

1

bn

=2+（n-1）×1=n+1
∴b_n=

1

n+1

．

（3）证明：当λ=1时数列{a_n}的公比q=f（λ）=

λ

1+λ

=

1

2

，
在S_n=（1+λ）-λa_n，中令n=1时，得出a₁=2-a₁，解得a₁=1．
∴等比数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁?q^n-1=(

1

2

)n-1
从而Cn=an(

1

bn

-1)=(

1

2

)n-1?[（n+1）-1]=n?(

1

2

)n-1＞0，数列{C_n}的前n项和T_n随n的增大而增大．
由 T_n=1?(

1

2

)0+2?(

1

2

)1+3?(

1

2

)2+…n?(

1

2

)n-1
得

1

2

T_n=1?(

1

2

)1+2?(

1

2

)2+…（n-1）?(

1

2

)n-1+n?(

1

2

)n
两式相减得

1

2

T_n=(

1

2

)0+(

1

2

)1+(

1

2

)2+…(

1

2

)n-1-n?(

1

2

)n
=

1-(

1

2

)n

1-

1

2

-n?(

1

2

)n
=2-（n+2）?(

1

2

)n
∴T_n=4-（n+2）?(

1

2

)n-1
当n≥2时，T_n≥T₂=4-4?

1

2

=2．易知T_n＜4．
所以当n≥2时，2≤T_n＜4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=（1+λ）-λan，其中λ为常数，且λ≠-1..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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