已知数列{an}的前n项和Sn与通项an之间满足关系Sn=12-12an（I）求数列{an}的通项公式；（II）设f（x）=log3x，bn=f（a1）+f（a2）+L+f（an），Tn=1b1+1b2+L+1bn，求T2012（III）若cn=an?f（a-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和Sn与通项an之间满足关系Sn=12-12an（I）求数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和S_n与通项a_n之间满足关系S_n=

1

2

-

1

2

an
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+L+f（a_n），T_n=

1

b1

+

1

b2

+L+

1

bn

，求T₂₀₁₂
（III）若c_n=a_n?f（a_n），求{c_n}的前n项和a_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）n=1时，a₁=S₁=

1

2

-

1

2

a₁，∴a₁=

1

3

（1分）
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

-

1

2

an-

1

2

+

1

2

an-1，∴a_n=

1

3

a_n-1，
即数列{a_n}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列（3分）
故a_n=(

1

3

)n （4分）
（II）由已知可得：f（a_n）=-n，则b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=-1-2-…-n=-

n(n+1)

2

（5分）
∴

1

bn

=-2(

1

n

-

1

n+1

）（6分）
∴T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=-2（1-

1

n+1

）
∴T₂₀₁₂=-

4024

2013

（8分）
（III）由题意：c_n=a_n?f（a_n）=-n×(

1

3

)n，故{c_n}的前n项和u_n=-[1×(

1

3

)1+2×(

1

3

)2+…+n×(

1

3

)n]①
∴

1

3

u_n=-[1×(

1

3

)2+2×(

1

3

)3+…+n×(

1

3

)n+1]②
①-②可得：

2

3

u_n=-[(

1

3

)1+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n-n×(

1

3

)n+1]（12分）
∴

2

3

u_n=-

1

2

[1-(

1

3

)n]+n×(

1

3

)n+1
∴u_n=-

3

4

+

3

4

×(

1

3

)n+

3

2

n×(

1

3

)n+1 （14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和Sn与通项an之间满足关系Sn=12-12an（I）求数..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：