已知函数f（x）=（x-2）2，f′（x）是函数f（x）的导函数，设a1=3，an+1=an-f(an)f′(an)（I）证明：数列{an-2}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（II）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x-2）2，f′（x）是函数f（x）的导函数，设a1=3，an+1=a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x-2）²，f′（x）是函数f（x）的导函数，设a₁=3，a_n+1=a_n-

f(an)

f′(an)

（I）证明：数列{a_n-2}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f′（x）=2（x-2），由an+1=an-

f(an)

f′(an)

，
可得an+1-

(an-2)2

2(an-2)

=

1

2

an+1，
an+1-2=(

1

2

an+1)-2=

1

2

an -1=

1

2

(an-2)，
∴{a_n-2}是以a₁-2=1为首项，公比为

1

2

的等比数列，
∴an-2=(a1-2) (

1

2

)n-1，
∴an=(

1

2

)n-1+2．
（Ⅱ）由题意bn=nan=

n

2n-1

+2n，
则Sn=(

1

20

+

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

)+n2+n（9分）
令Tn=

1

20

+

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

①
①×

1

2

得：

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

②
①-②得：

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-

1

2n

1-

1

2

-

n

2n

=2（1-

1

2n

）-

n

2n

，
即Tn=4(1-

1

2n

) -

2n

=4-

n+2

2n-1

（12分）
所以Sn=Tn+n2+n=4-

n+2

2n-1

+n2+n（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x-2）2，f′（x）是函数f（x）的导函数，设a1=3，an+1=a..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：