数列{an}满足a1=1，an+1=2n+1anan+2n（n∈N+）．（Ⅰ）证明：数列{2nan}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅲ）设bn=n（n+1）an，求数列{bn}的前n项和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足a1=1，an+1=2n+1anan+2n（n∈N+）．（Ⅰ）证明：数列{2nan}是..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足a₁=1，an+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N₊）．
（Ⅰ）证明：数列{

2n

an

}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设b_n=n（n+1）a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：由已知可得

an+1

2n+1

=

an

an+2n

，
即

2n+1

an+1

=

2n

an

+1，
即

2n+1

an+1

-

2n

an

=1
∴数列{

2n

an

}是公差为1的等差数列（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

2n

an

=

2

a1

+(n-1)×1=n+1，
∴an=

2n

n+1

（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知b_n=n?2ⁿ
S_n=1?2+2?2²+3?2³++n?2ⁿ
2S_n=1?2²+2?2³+…+（n-1）?2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹（10分）
相减得：-Sn=2+22+23++2n-n?2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n?2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n?2ⁿ⁺¹（12分）
∴S_n=（n-1）?2ⁿ⁺¹+2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足a1=1，an+1=2n+1anan+2n（n∈N+）．（Ⅰ）证明：数列{2nan}是..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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