已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn=an(an+1)2(n∈N*)（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=12Sn，Tn=b1+b2+…+bn，求Tn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn=an(an+1)2(n∈N*..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且Sn=

an(an+1)

2

(n∈N*)
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

1

2Sn

，Tn=b1+b2+…+bn，求T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵Sn=

an(an+1)

2

，
∴2Sn=an2+an，①
2Sn-1=an-12+an-1

(a≥2)，②
由①-②得：2an=an2-an-12+an-an-1，（2分）
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴an-an-1=1

(n≥2)，
又∵a1=S1=

a1(a1+1)

2

，
∴a₁=1，∴an=a1+(n-1)d=n

(n≥2)，（5分）
当n=1时，a₁=1，符合题意．
故a_n=n．（6分）
（Ⅱ）∵Sn=

an(an+1)

2

=

n(n+1)

2

，
∴bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，（10分）
故Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn=an(an+1)2(n∈N*..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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