各项均为正数的数列{an}，a1=12，a2=45，且对满足m+n=p+q的任意正整数m，n，p，q都有am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq)（I）求通项an；（II）记cn=an+1-an（n∈N*），设数列{cn}-数学试题及答案

1、试题题目：各项均为正数的数列{an}，a1=12，a2=45，且对满足m+n=p+q的任意正..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

各项均为正数的数列{a_n}，a₁=

1

2

，a2=

4

5

，且对满足m+n=p+q的任意正整数m，n，p，q都有

am+an

(1+am)(1+an)

=

ap+aq

(1+ap)(1+aq)

（I）求通项a_n；
（II）记c_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有T_n＜

2

3

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）解法一：特征根法，令α=

2α+1

α+2

得α=1
∴an-1=

2an-1+1

an-1+2

-1=

an-1-1

an-1+2

∴

1

an-1

=

an-1+2

an-1-1

=

3

an-1-1

+1
再利用构造新数列求通项公式
设

1

an-1

-p=3(

1

a n-1-1

-p)
∴

1

an-1

=

3

an-1-1

-2p∴-2p=1∴p=-

1

2

∴

1

an-1

+

1

2

=3(

1

an-1-1

+

1

2

)又

1

an-1

+

1

2

=-

3

2

∴

1

an-1

=-

1

2

?3n-

1

2

∴an-1=-

2

3n+1

∴an=

3n-1

3n+1

解法二：由

am+an

(1+am)(1+an)

=

ap+aq

(1+ap)(1+aq)

得

a1+an

(1+a1)(1+an)

=

a2+an-1

(1+a2)(1+an-1)

将a₁=

1

2

，a2=

4

5

，代入化简得
a_n=

2an-1+1

an-1+2

所以

1-an

1+an

=

1

3

1-an-1

1+an-1

故数列{

1-an

1+an

}为等比数列，从而

1-an

1+an

=

1

3n

，a_n=

3n-1

3n+1

（II）∵an=

3n-1

3n+1

=1-

2

3n+1

∴cn=an+1-an=1-

2

3n+1+1

-1+

2

3n+1

=

4?3n

(3n+1)(3n+1+1)

=

4?3n

32n+1+4?3n+1

=

4

3n+1+4+

1

3n

＜

4

3n+1

∴Tn=c1+c2+…+cn＜4(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n+1

)=4?

1

9

(1-

1

3n

)

1-

1

3

=

2

3

(1-

1

3n

)＜

2

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“各项均为正数的数列{an}，a1=12，a2=45，且对满足m+n=p+q的任意正..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：