已知函数f（x）=x+1x+a2，g（x）=x3-a3+2a+1，若存在ξ1、ξ2∈[1a，a]（a＞1），使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤9，则a的取值范围是_____

1、试题题目：已知函数f（x）=x+1x+a2，g（x）=x3-a3+2a+1，若存在ξ1、ξ2∈[1a，a]（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x+

1

x

+a²，g（x）=x³-a³+2a+1，若存在ξ₁、ξ₂∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤9，则a的取值范围是______．

试题来源：盐城二模试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

存在ξ₁、ξ₂∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤9，等价于存在x∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（x）_min-g（x）_max|≤9
∵函数f（x）=x+

1

x

+a²，ξ₁∈[

1

a

，a]（a＞1），∴f（x）=x+

1

x

+a²≥2+a²，即f（x）_min=2+a²；
∵g（x）=x³-a³+2a+1，∴g′（x）=3x²，∴函数g（x）在[

1

a

，a]（a＞1）上单调递增，
∴g（x）_max=g（a）=2a+1
∴|2+a²-2a-1|≤9
∴-3≤a-1≤3
∴-2≤a≤4
∵a＞1，∴1＜a≤4．
故答案为：（1，4]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x+1x+a2，g（x）=x3-a3+2a+1，若存在ξ1、ξ2∈[1a，a]（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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