已知函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，有f（2）=1，对于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且满足当x＞1时，f（x）＞0成立．（1）求f（1）、f（4）的值；（2）求满足f（x）+f（x-3）＞2的-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，有f（2）=1，对于任意的x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，有f（2）=1，对于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且满足当x＞1时，f（x）＞0成立．
（1）求f（1）、f（4）的值；
（2）求满足f（x）+f（x-3）＞2的x的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0．
令x=y=2，则f（2×2）=f（2）+f（2），∴f（4）=2f（2）=2×1=2．
（2）下面先证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
证明：任取x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，由已知得f(

x2

x1

)＞0．
∴f（x₂）=f(

x2

x1

×x1)=f(

x2

x1

)+f（x₁）＞f（x₁），即f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）在区间（0，+∞）是单调递增．
∵f（x）+f（x-3）=f（x²-3x）＞2=f（4），∴x²-3x＞4，解得x＞4，或x＜-1，
而已知x＞0，∴x＜-1应舍去，
故x的取值范围是x＞4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，有f（2）=1，对于任意的x..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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