已知函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，且f（-1）=2（1）求f（0）的值（2）求证：函数f（x）为奇函数；（3）判断函数f（x）的单调性，并求函数f（x）在[-2，1]上-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，且f（-1）=2
（1）求f（0）的值
（2）求证：函数f（x）为奇函数；
（3）判断函数f（x）的单调性，并求函数f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）得：f（0+0）=f（0）+f（0），f（0）=0（4分）
（2）证明：∵函数f（x）的定义域为R，令y=-x得f（x-x）=f（x）+f（-x）∴f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴函数f（x）是奇函数．（10分）
（3）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，∵当x＜0时，f（x）＞0，∴f（x₁-x₂）＞0∴f（x₁）+f（-x₂）＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）为R上的单调减函数，∴函数f（x）在[-2，1]上的最大值f_max（x）=f（-2）=f（-1）+f（-1）=2+2=4，f_min（x）=f（1）=-f（-1）=-2．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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