函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③f（13）＞1．（1）求f（0）的值；（2）求证：f（x）在R上是单调增函数；（3）若a＞b＞c＞0且b2-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③f（

1

3

）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）在R上是单调增函数；
（3）若a＞b＞c＞0且b²=ac，求证：f（a）+f（c）＞2f（b）．

试题来源：海淀区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵对任意x∈R，有f（x）＞0，
∴令x=0，y=2得：f（0）=[f（0）]²?f（0）=1；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₁=

1

3

p1，x2=

1

3

p2，故p₁＜p₂，
∵函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③f（

1

3

）＞1．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

1

3

p1）-f（

1

3

p2）=[f(

1

3

)]p1-[f(

1

3

)]p2＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）是R上的单调增函数．
（3）由（1）（2）知，f（b）＞f（0）=1，
∴f（b）＞1，
∵f（a）=f（b?

a

b

）=[f(b)]

a

b

，f（c）=f（b?

c

b

）=[f(b)]

c

b

，
∴f（a）+f（c）=[f(b)]

a

b

+[f(b)]

c

b

＞2

[f(b)]

c+a

b

，
而a+c＞2

ac

=2

b2

=2b，
∴2

[f(b)]

c+a

b

＞2

[f(b)]

2b

b

=2f（b），
∴f（a）+f（c）＞2f（b）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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