在平面直角坐标系中，若a=（x，y+2），b=（x，y-2），且|a|+|b|=8．（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设OP=OA+OB，是否存在这样的直线l-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系中，若a=（x，y+2），b=（x，y-2），且|a|+|b|=8．（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系中，若

a

=（x，y+2），

b

=（x，y-2），且|

a

|+|

b

|=8．
（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设

OP

=

OA

+

OB

，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程，不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为

a

=(x，y+2)，

b

=(x，y-2)，且|

a

|+|

b

|=8．
所以动点M到两个定点F₁（0，-2），F₂（0，2）的距离的和为8．
所以轨迹C以F₁（0，-2），F₂（0，2）为焦点的椭圆，
方程为

x2

12

+

y2

16

=1．
（2）为直线l过点（0，3）．
若直线l是y轴，则A、B是椭圆的顶点．

OP

=

OA

+

OB

=

0

，
所以O与P重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+3

x2

12

+

y2

16

=1

?(4+3k2)x2+18kx-21=0，
由于△=（18k²）-4（4+3k²）（-21）＞0恒成立．
由韦达定理x1+x2=-

18k

4+3k2

，x1x2=-

21

4+3k2

．
因为

OP

=

OA

+

OB

，
所以OAPB是平行四边形．
若存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，
则OA⊥OB，即

OA

?

OB

=0，
因为

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)，
所以

OA

?

OB

=x1x2+y1y2=0，
所以（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0，
所以(1+k2)(-

21

4+3k2

)+3k(-

18k

4+3k2

)+9=0
机k2=

5

16

，k=±

5

4

，
故存在直线l：y=±

5

4

x+3，使得四边形OAPB为矩形．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系中，若a=（x，y+2），b=（x，y-2），且|a|+|b|=8．（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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