已知函数f（x）=x2+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a1=1，an+1=an-f(an)f′(an)（n=1，2，…）．（1）求α，β的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有an＞α；（-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a₁=1，an+1=an-

f(an)

f′(an)

（n=1，2，…）．
（1）求α，β的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有a_n＞α；
（3）记bn=ln

an-β

an-α

（n=1，2，…），求数列{b_n}的前n项和S_n．

试题来源：广东试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），
∴α=

-1+

5

2

，β=

-1-

5

2

；
（2）f'（x）=2x+1，an+1=an-

a

2n

+an-1

2an+1

=an-

1

2

an(2an+1)+

1

4

(2an+1)-

5

4

2an+1

=

1

4

(2an+1)+

5

4

2an+1

-

1

2

，
∵a₁=1，
∴有基本不等式可知a2≥

5

-1

2

＞0（当且仅当a1=

5

-1

2

时取等号），
∴a2＞

5

-1

2

＞0，同样a3＞

5

-1

2

，an＞

5

-1

2

=α（n=1，2），

（3）an+1-β=an-β-

(an-α)(an-β)

2an+1

=

an-β

2an+1

(an+1+α)
而α+β=-1，即α+1=-β，an+1-β=

(an-β)2

2an+1

，
同理an+1-α=

(an-α)2

2an+1

，bn+1=2bn，
又b1=ln

1-β

1-α

=ln

3+

5

3-

5

=2ln

3+

5

2

sn=2(2n-1)ln

3+

5

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：