已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1（n≥2且n∈N*）．（1）证明：数列{an-12n}为等差数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1（n≥2且n∈N*）．（1）证明：数列{..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*）．
（1）证明：数列{

an-1

2n

}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵数列{

an-1

2n

}为等差数列
设bn=

an-1

2n

，b1=

5-1

2

=2bn+1-bn=

an+1-1

2n+1

-

an-1

2n

=

1

2n+1

[(an+1-2an)+1]=

1

2n+1

[(2n+1-1)+1]=1，（6分）
可知，数列{

an-1

2n

}为首项是2、公差是1的等差数列．（7分）
（2）由（1）知，

an-1

2n

=

a1-1

2

+(n-1)×1，
∴a_n=（n+1）?2ⁿ+1．（8分）
∴S_n=（2?2¹+1）+（3?2²+1）+…+（n?2^n-1+1）+[（n+1）?2ⁿ+1]．
即S_n=2?2¹+3?2²+…+n?2^n-1+（n+1）?2ⁿ+n．
令T_n=2?2¹+3?2²+…+n?2^n-1+（n+1）?2ⁿ，①
则2T_n=2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ+（n+1）?2ⁿ⁺¹．②（12分）
②-①，得T_n=-2?2¹-（2²+2³++2ⁿ）+（n+1）?2ⁿ⁺¹=n?2ⁿ⁺¹．
∴S_n=n?2ⁿ⁺¹+n=n?（2ⁿ⁺¹+1）．（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1（n≥2且n∈N*）．（1）证明：数列{..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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