已知各项都不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=12anan+1(n∈N*)，a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：1a12+1a22+1a32+…+1an2＜74．-数学试题及答案

1、试题题目：已知各项都不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=12anan+1(n∈N*)..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知各项都不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=

1

2

anan+1(n∈N*)，a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

7

4

．

试题来源：潮州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵Sn=

1

2

anan+1，①
∴Sn-1=

1

2

an-1an(n≥2)，②
①-②得an=Sn-Sn-1=

1

2

(an+1-an-1)an
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2．
数列{a_n}的奇数项组成首项为a₁=1，公差为2的等差数列；偶数项组成首项为a₂，公差为2的等差数列．
∵a₁=1，∴a2=

S1

1

2

a1

=2，
∴a_2n-1=1+（n-1）×2=2n-1，a_2n=2+（n-1）×2=2n．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n．（n∈N*）；
（2）证明：当n≥3时，

1

an2

=

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

(n-1)

-

1

n

，则

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

4

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+

1

(n-1)

-

1

n

=

7

4

-

1

n

＜

7

4

当n=1时，

1

a12

=1＜

7

4

；当n=2时，

1

a12

+

1

a22

=

5

4

＜

7

4

；
∴

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

7

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知各项都不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=12anan+1(n∈N*)..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：