设正数数列{an}的前n项之和为Sn满足Sn=(an+12)2①先求出a1，a2，a3，a4的值，然后猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．②设bn=1anan+1，数列{bn}的前n项和为Tn．-数学试题及答案

1、试题题目：设正数数列{an}的前n项之和为Sn满足Sn=(an+12)2①先求出a1，a2，a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

设正数数列{a_n}的前n项之和为S_n满足S_n=(

an+1

2

)2
①先求出a₁，a₂，a₃，a₄的值，然后猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
②设bn=

1

anan+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①在 S_n=(

an+1

2

)2中，令n=1可得，a₁=(

a1+1

2

)2，∴a₁=1．令n=2 可得，1+a₂=(

a2+1

2

)2，
a₂=3，同理可求，a₃=5，a₄=7．
猜测a_n=2n-1．
证明：当n=1时，猜测显然成立，假设 a_k=2k-1，
则由 a_k+1=s_k+1-s_k=(

ak+1+1

2

)2-(

ak+1

2

)2=(

ak+1+1

2

)2-k²，解得 a_k+1=2k+1，
故n=k+1时，猜测仍然成立，
③∵bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设正数数列{an}的前n项之和为Sn满足Sn=(an+12)2①先求出a1，a2，a..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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