已知由正数组成的两个数列{an}，{bn}，如果an，an+1是关于x的方程x2-2bn2x+anbnbn+1=0的两根．（1）求证：{bn}为等差数列；（2）已知a1=2，a2=6，分别求数列{an}，{bn}的通项公式；-数学试题及答案

1、试题题目：已知由正数组成的两个数列{an}，{bn}，如果an，an+1是关于x的方程..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知由正数组成的两个数列{a_n}，{b_n}，如果a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2b_n²x+a_nb_nb_n+1=0的两根．
（1）求证：{b_n}为等差数列；
（2）已知a₁=2，a₂=6，分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（3）求数{

bn

2n

}的前n项和S．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由：a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2b_n²x+a_nb_nb_n+1=0的两根，
得：a_n+a_n+1=2b_n²，a_na_n+1=a_nb_nb_n+1…（2分）
∴2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1，
∵b_n＞0，
∴2b_n=b_n-1+b_n+1（n＞1）
∴{b_n}是等差数列 …（4分）
（2）由（1）知2b₁²=a₁+a₂=8，
∴b₁=2，
∵a₂=b₁b₂，
∴b₂=3，
∴b_n=n+1，
∴b_n-1=n…（6分）
a_n=b_n-1b_n=n（n+1）（n＞1）…（7分）
又a₁=2符合上式，∴a_n=n（n+1）…（9分）
（3）Sn=

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

①

1

2

Sn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

②
①-②得

1

2

Sn=1+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

…（13分）
=1+

1

4

(1-

1

2n+1

)

1-

1

2

-

n-1

2n+1

=1+

1

2

(1-

1

2n-1

)-

n-1

2n+1

∴Sn=3-

n+3

2n

…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知由正数组成的两个数列{an}，{bn}，如果an，an+1是关于x的方程..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：