正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn=（a+1）2，n∈N*．（1）试求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1an?an+1（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．-数学试题及答案

1、试题题目：正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn=（a+1）2，n∈N*．（1）试求数列{an..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=（a+1）²，n∈N^*．
（1）试求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

an?an+1

（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵4S_n=（a+1）²，n∈N^*，∴Sn=

an2+2an+1

4

…①
当n=1时，a1=

a12+2a1+1

4

，∴a₁=1．
当n≥2时，Sn-1=

an-12+2an-1+1

4

…②
①、②式相减得：
4a_n=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）+2（a_n-a_n-1），
∴2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∴a_n-a_n-1=2，
综上得a_n=2n-1．（6分）
（2）bn=

1

an?an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn=（a+1）2，n∈N*．（1）试求数列{an..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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