已知数列{an}与{bn}有如下关系：a1=2，an+1=12（an+1an），bn=an+1an-1．（1）求数列{bn}的通项公式．（2）设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，求证：Sn＜n+43．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}与{bn}有如下关系：a1=2，an+1=12（an+1an），bn=an+1a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}与{b_n}有如下关系：a₁=2，a_n+1=

1

2

（an+

1

an

），b_n=

an+1

an-1

．
（1）求数列{b_n}的通项公式．
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，当n≥2时，求证：S_n＜n+

4

3

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵b_n=

an+1

an-1

．
∴b₁=

a1+1

a1-1

=3，
∵a_n+1=

1

2

（a_n+

1

an

），
∴b_n+1=

an+1+1

an+1-1

=(

an+1

an-1

)2=

b

2n

＞0
∴bn=

b

2n-1

=…=32n-1
（2）证明：当n≥2时，an+1-1=

an-1

32n-1+1

≤

1

10

(an-1)
（当且仅当n=2时取等号）且a2=

1

2

(a1+

1

a1

)=

5

4

故a3-1≤

1

10

(a2-1)，a4-1≤

1

10

(a3-1)，…，an-1≤

1

10

(an-1-1)
以上式子累和得Sn-a1-a2-(n-2)≤

1

10

[Sn-1-a1-(n-2)]
∴10[S_n-a₁-a₂-（n-2）]≤S_n-1-a₁-（n-2）
∴9Sn≤

25

2

+9n-

32n-1+1

32n-1-1

∴Sn≤

25

18

+n-

32n-1+1

9(32n-1-1)

＜

25

18

+n-

1

9

=

23

18

+n＜

24

18

+n
∴S_n＜n+

4

3

．得证

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}与{bn}有如下关系：a1=2，an+1=12（an+1an），bn=an+1a..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：