发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-05 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)解:由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R, 令f′(x)=0,得x=ln2, 于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞), f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2-21n2+2a=2(1-ln2+a)。 (Ⅱ)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R, 于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R, 由(Ⅰ)知当a>ln2-1时,g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0, 于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增; 于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0), 而g(0)=0, 从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0, 即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1。 |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R,(Ⅰ)求f(x)的单调区间与极值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。