已知双曲线C：x24-y2=1和定点P(2，12)．（1）求过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线方程；（2）双曲线C上是否存在A，B两点，使得OP=12(OA+OB)成立？若存在，求出直线AB的方程；若-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线C：x24-y2=1和定点P(2，12)．（1）求过点P且与双曲线C只有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知双曲线C：

x2

4

-y2=1和定点P(2，

1

2

)．
（1）求过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线方程；
（2）双曲线C上是否存在A，B两点，使得

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)成立？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当斜率不存在时，x=2符合题意，
当斜率存在时，设直线方程为y-

1

2

=k（x-2），即y=kx-2k+

1

2

代入双曲线方程，消元可得（4k²-1）x²-k（16k-4）x+（16k²-8k+5）=0
当4k²-1=0，即k=±

1

2

时，方程有唯一解，满足题意，此时直线方程为：x-2y-1=0，x+2y-3=0
当4k²-1≠0，即k≠±

1

2

时，令△=0，可得k=

5

8

，此时直线方程为：5x-8y-6=0
故过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线方程为x-2y-1=0，x+2y-3=0，5x-8y-6=0，x=2
（2）设存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点符合题意，
∵

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，∴P(2，

1

2

)为中点，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=1
同（1）知x₁，x₂是方程（4k²-1）x²-k（16k-4）x+（16k²-8k+5）=0的两根，
∴x1+x2=

k(16k-4)

4k2-1

，
∴

k(16k-4)

4k2-1

=4，
∴k=1
此时方程为3x²-12x+13=0，△＜0，故k=1不符合题意，所以符合题意的直线AB不存在．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线C：x24-y2=1和定点P(2，12)．（1）求过点P且与双曲线C只有..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：