已知数列{an}满足11-an+1-11-an=1，且a1=0．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=n?2nan，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）设cn=1-an+1n，记Tn=nk=1ck，证明：Tn＜1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足11-an+1-11-an=1，且a1=0．（1）求数列{an}的通项公..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足

1

1-an+1

-

1

1-an

=1，且a₁=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n?2ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设c_n=

1-

an+1

n

，记T_n=

n

k=1

ck，证明：T_n＜1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a₁=0，∴

1

1-a1

=1
∵

1

1-an+1

-

1

1-an

=1
∴数列{

1

1-an

}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴

1

1-an

=n，∴a_n=

n-1

n

；
（2）b_n=n?2ⁿa_n=（n-1）?2ⁿ，
∴S_n=1?2²+2?2³+…+（n-1）?2ⁿ，
∴2S_n=1?2³+2?2⁴+…+（n-2）?2ⁿ+（n-1）?2ⁿ⁺¹，
两式相减可得-S_n=1?2²+1?2³+…+1?2ⁿ-（n-1）?2ⁿ⁺¹，
∴S_n=4+（n-2）?2ⁿ⁺¹；
（3）证明：c_n=

1-

an+1

n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=

n

k=1

ck=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1，
∴T_n＜1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足11-an+1-11-an=1，且a1=0．（1）求数列{an}的通项公..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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