已知各项均为正数的数列{an}满足a2n+1=2a2n+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令cn=1+nan，记数列{an}的前n项积为Tn，其中n∈N*试比较Tn与9的大-数学试题及答案

1、试题题目：已知各项均为正数的数列{an}满足a2n+1=2a2n+anan+1，且a2+a4=2a3..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知各项均为正数的数列{a_n} 满足

a

2n+1

=2

a

2n

+anan+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）令cn=1+

n

an

，记数列{a_n} 的前n项积为T_n，其中n∈N^* 试比较T_n 与9的大小，并加以证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，所以2a_n=a_n+1，所以数列{a_n}是公比为2的等比数列．
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2，故a_n=2ⁿ（n∈N^*）
（2）构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），则f′(x)=-

x

1+x

当x＞0时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）上单调递减
∴f（x）＜f（0）=0，∴ln（1+x）-x＜0
∴lnc_n=ln（1+

n

an

）=ln(1+

n

2n

)＜

n

2n

∴lnT_n＜

1

2

+

2

22

…+

n

2n

记A_n=

1

2

+

2

22

…+

n

2n

①，则

1

2

A_n=

1

22

+

2

23

…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
∴①-②可得

1

2

A_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

＜1
∴A_n＜2
∴lnT_n＜2
∴T_n＜e²＜9．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知各项均为正数的数列{an}满足a2n+1=2a2n+anan+1，且a2+a4=2a3..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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