已知数列{an}的前三项分别为a1=5，a2=6，a3=8，且数列{an}的前n项和Sn满足Sn+m=12(S2n+S2m)-(n-m)2，其中m，n为任意正整数．（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（2）求满足S-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前三项分别为a1=5，a2=6，a3=8，且数列{an}的前n项..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前三项分别为a₁=5，a₂=6，a₃=8，且数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn+m=

1

2

(S2n+S2m)-(n-m)2，其中m，n为任意正整数．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）求满足Sn2-

3

2

an+33=k2的所有正整数k，n．

试题来源：江苏二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）在等式Sn+m=

1

2

(S2n+S2m)-(n-m)2中，
分别令m=1，m=2，得
Sn+1=

1

2

(S2n+S2)-(n-1)2，①
Sn+2=

1

2

(S2n+S4)-(n-2)2，②
②-①，得an+2=2n-3+

S4-S2

2

，
在等式Sn+m=

1

2

(S2n+S2m)-(n-m)2中，
令n=1，m=2，得
S3=

1

2

(S2+S4)-1，
由题设知，S₂=11，S₃=19，
故S₄=29，
所以a_n+2=2n+6，（n∈N^*），
即a_n=2n+2，（n≥3，n∈N^*），
又a₂=6也适合上式，
故an=

5，n=1

2n+2，n≥2

，即Sn=n2+3n+1，n∈N*．
（2）记Sn2-

3

2

an+33=k2，（*）
n=1时，无正整数k满足等式（*）
n≥2时，等式（*）即为（n²+3n+1）²-3（n-10）=k²，
①当n=10时，k=131．
②当n＞10时，则k＜n²+3n+1，
∵k²-（n²+3n）²=2n²+3n+31＞0，
∴k＞n²+3n，
从而n²+3n＜k＜n²+3n+1，
∵n，k∈N^*，∴k不存在，从而无正整数k满足等式（*）．
③当n＜10时，则k＞n²+3n+1，
∵k∈N^*，∴k≥n²+3n+2，
从而（n²+3n+1）²-3（n-10）≥（n²+3n+2）²．
即2n²+9n-27≤0，
∵n∈N^*，∴n=1或2．
n=1时，k²=52，无正整数解；
n=2时，k²=145，无正整数解．
综上所述，满足等式（*）的n，k分别为n=10，k=131．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前三项分别为a1=5，a2=6，a3=8，且数列{an}的前n项..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：