已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*)．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{n2an}的前n项和Tn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*)．（Ⅰ）求数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{n²a_n}的前n项和T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵a₁=1，a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1(n∈N*)．
∴a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=

n

2

an，
∴na_n=

n+1

2

an+1-

n

2

an，
∴

an+1

an

=

3n

n+1

，
在a₁=1，a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1(n∈N*)，
取n=1，得a₂=1，
∴a_n+1=a2×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

an+1

an

=1×(3×

2

3

)×(3×

3

4

)×…×(3×

n

n+1

)
=3n-1×

2

n+1

，
∴an=

1，n=1

3n-2?

2

n

，n≥2

．
（Ⅱ）∵an=

1，n=1

3n-2?

2

n

，n≥2

．
∴n²a_n=

1，n=1

2n?3n-2，n≥2

，
∴T_n=1+4×3⁰+6×3+8×3²+…+2n?3^n-2，①
3T_n=3+4×3+6×3²+8×3³+…+2（n-1）?3^n-2+2n?3^n-1，②
①-②，得-2T_n=-2+4+2×（3+3²+3³+…+3^n-2）-2n×3^n-1
=2+2×

3(1-3n-2)

1-3

-2n×3^n-1
=2+3^n-1-3-2n×3^n-1
=3^n-1-1-2n×3^n-1
∴T_n=

1

2

+n×3^n-1-

3n-1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*)．（Ⅰ）求数..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：