数列{an}中，Sn=4-an-12n-2．（Ⅰ）求a1，a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}中，Sn=4-an-12n-2．（Ⅰ）求a1，a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想an的表..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

数列{a_n}中，Sn=4-an-

1

2n-2

．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵Sn=4-an-

1

2n-2

，∴a1=4-a1-

1

21-2

，即a₁=1，
∵S2=4-a2-

1

22-2

，即a₁+a₂=4-a₂-1，∴a₂=1，
∵S3=4-a3-

1

23-2

，即a₁+a₂+a₃=4-a₃-

1

2

，∴a₃=

3

4

，
∵S4=4-a4-

1

24-2

，即a₁+a₂+a₃+a₄=4-a₄-

1

4

，∴a₃=

1

2

，
（Ⅱ）猜想an=

n

2n-1

证明如下：①当n=1时，a₁=1，此时结论成立；
②假设当n=k（k∈N^*）结论成立，即

a

k

=

k

2k-1

，
那么当n=k+1时，有Sk=4-ak-

1

2k-2

=4-

2k

-

4

2k

=4-

2k+4

2k

∵Sk+1=4-ak+1-

1

2k-1

=Sk+ak+1
∴2ak+1=4-

1

2k-1

-4+

2k+4

2k

=

2k+4-2

2k

=

2k+2

2k

即ak+1=

k+1

2k

，
这就是说n=k+1时结论也成立．
根据①和②，可知对任何n∈N^*时an=

n

2n-1

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}中，Sn=4-an-12n-2．（Ⅰ）求a1，a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想an的表..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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