已知在数列{an}中，a1=12，Sn是其前n项和，且Sn=n2an-n(n-1)．（1）求{an}的通项公式；（2）令bn=(12)n+1-an，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜2．-数学试题及答案

1、试题题目：已知在数列{an}中，a1=12，Sn是其前n项和，且Sn=n2an-n(n-1)．（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知在数列{a_n}中，a1=

1

2

，S_n是其前n项和，且Sn=n2an-n(n-1)．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令bn=(

1

2

)n+1-an，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），S_n=n²a_n-n（n-1）
∴S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），即（n²-1 ）S_n-n²S_n-1=n（n-1），
∴

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1，∴{

n+1

n

Sn}是首项为1，公差为1的等差数列
∴

n+1

n

Sn=1+（n-1）×1=n，∴S_n=

n2

n+1

∵Sn=n2an-n(n-1)
∴

n2

n+1

=n2an-n(n-1)
∴a_n=1-

1

n2+n

；
（2）证明：由（1）知，bn=(

1

2

)n+1-an=(

1

2

)n+

1

n2+n

=(

1

2

)n+

1

n

-

1

n+1

∴T_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

2n

+1-

1

n+1

＜2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知在数列{an}中，a1=12，Sn是其前n项和，且Sn=n2an-n(n-1)．（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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