已知（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+an（x-1）n，（其中n∈N*）（1）求a0及Sn=a1+2a2+3a3+…+nan；（2）试比较Sn与n3的大小，并说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：已知（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+an（x-1）n，（其中n∈N..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a₀及S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n；
（2）试比较S_n与n³的大小，并说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）取x=1，可得 a0=2n． …（1分）
对等式两边求导，得n(x+1)n-1=a1+2a2(x-1)+3a3(x-1)2+…+nan(x-1)n-1，
取x=2，则Sn=a1+2a2+3a3+…+nan=n?3n-1． …（4分）
（2）要比较S_n与n³的大小，即比较：3^n-1与n²的大小，
当n=1，2时，3^n-1＜n²；当n=3时，3^n-1=n²；当n=4，5时，3^n-1＞n²． …（6分）
猜想：当n≥4时，3^n-1＞n²，下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4时结论成立，
假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3^k-1＞k²，
当n=k+1时，3^（k+1）-1=3?3^k-1＞3k²．
而3k²-（k+1）²=2k²-2k-1=2k（k-1）-1≥2×4×3-1=23＞0，
∴3^（k+1）-1＞3?3^k-1＞3k²＞（k+1）²，故当n=k+1时结论也成立，
∴当n≥4时，3^n-1＞n²成立． …（11分）
综上得，当n=1，2时，Sn＜n2；当n=3时，Sn=n2；当n≥4，n∈N^*时，Sn＞n2．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+an（x-1）n，（其中n∈N..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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