设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2-2Sn-anSn+1=0，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）求Sn的表达式．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2-2Sn-anSn+1=0，n=1，2，3，…．（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂；
（2）求S_n的表达式．

试题来源：江西模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当n=1时，由已知得

a

21

-2a1-

a

21

+1=0，解得a1=

1

2

．
同理，可解得a2=

1

6

．
（2）由题设S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0，当n≥2（n∈N^*）时，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式，得S_n-1S_n-2S_n+1=0．（*）
由（1）可得S1=a1=

1

2

，S2=a1+a2=

1

2

+

1

6

=

2

3

．由（*）式可得S3=

3

4

．
由此猜想：Sn=

n

n+1

(n∈N*)（8分）
证明：①当n=1时，结论成立．②假设当n=k（k∈N^*）时结论成立，
即Sk=

k

k+1

，那么，由（*）得Sk+1=

1

2-Sk

，∴Sk+1=

1

2-

k

k+1

=

k+1

k+2

．
所以当n=k+1时结论也成立，根据①和②可知，Sn=

n

n+1

对所有正整数n都成立．因Sn=

n

n+1

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2-2Sn-anSn+1=0，n=1，2，3，…．（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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