数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+an=-n（n∈N*）恒成立．（1）求数列{an}的通项公式；（2）bn=ln（an+1），求{anbn}的前n项和；（3）求证：12a1a2+122a2a3+…+12nanan+1＜2．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+an=-n（n∈N*）恒成立．（1）求数列{an..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+a_n=-n（n∈N^*）恒成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=ln（a_n+1），求{a_nb_n}的前n项和；
（3）求证：

1

2a1a2

+

1

22a2a3

+…+

1

2nanan+1

＜2．

试题来源：香洲区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵S_n+a_n=-n①
∴n≥2时，S_n-1+a_n-1=-n+1②
①-②可得2a_n=a_n-1-1
∴2（a_n+1）=a_n-1+1
又a₁=-

1

2

，∴{a_n+1}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列
∴a_n+1=(

1

2

)n，∴a_n=(

1

2

)n-1；
（2）b_n=ln（a_n+1）=nln

1

2

，∴a_nb_n=[(

1

2

)n-1]?nln

1

2

，
∴{a_nb_n}的前n项和为ln

1

2

[

1

2

+2?(

1

2

)2+…+n?(

1

2

)n]-

n(n+1)

2

?ln

1

2

令T_n=ln

1

2

[

1

2

+2?(

1

2

)2+…+n?(

1

2

)n]，则

1

2

T_n=ln

1

2

[(

1

2

)2+2?(

1

2

)3+…+（n-1）?(

1

2

)n+n?(

1

2

)n+1]，
两式相减，可得T_n=ln

1

2

（2-

1

2n-1

-

n

2n

）
∴{a_nb_n}的前n项和为ln

1

2

（2-

1

2n-1

-

n

2n

）-

n(n+1)

2

?ln

1

2

；
（3）证明：由（1）知，

1

2nanan+1

=-2（

1

2n

-1

-

1

2n+1

-1

）
∴

1

2a1a2

+

1

22a2a3

+…+

1

2nanan+1

=-2（

1

21

-1

-

1

22

-1

+

1

22

-1

-

1

3

-1

+…+

1

2n

-1

-

1

2n+1

-1

）
=-2（

1

21

-1

-

1

2n+1

-1

）＜2
∴

1

2a1a2

+

1

22a2a3

+…+

1

2nanan+1

＜2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+an=-n（n∈N*）恒成立．（1）求数列{an..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：