设数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n2，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1log12an，cn=bnbn+1，记Sn=c1+c2+…+cn，证明：Sn＜1．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n2，n∈N*．（1）求数列{an}的通..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=

n

2

，n∈N*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

log

1

2

an

，cn=bnbn+1，记S_n=c₁+c₂+…+c_n，证明：S_n＜1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意，a1+2a2+22a3+…+2n-2?an-1+2n-1an=

n

2

，
当n≥2时，a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=

n-1

2

，
两式相减，得2n-1an=

n

2

-

n-1

2

=

1

2

，
所以，当n≥2时，an=

1

2 n

，…（4分）
当n=1时，a1=

1

2

也满足上式，
所求通项公式an=

1

2 n

，n∈N^*．…（6分）
（2）∵bn=

1

log

1

2

an

=

1

log

1

2

(

1

2

)n

=

1

n

．…（8分）
cn=

n+1

-

n

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（10分）
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

＜1．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n2，n∈N*．（1）求数列{an}的通..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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