等比数列{an}为递增数列，且a4=23，a3+a5=209，数列bn=log3an2（n∈N*）（1）求数列{bn}的前n项和Sn及其最小值；（2）若Tn=b1+b2+b22+…+b2n-1，求Tn的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：等比数列{an}为递增数列，且a4=23，a3+a5=209，数列bn=log3an2（n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

等比数列{a_n}为递增数列，且a4=

2

3

，a3+a5=

20

9

，数列bn=log3

an

2

（n∈N^*）
（1）求数列{b_n}的前n项和S_n及其最小值；
（2）若T_n=b₁+b₂+b22+…+b2n-1，求T_n的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设等比数列的首项a₁，公比为q
则由已知可得，a3(1+q2)=

20

9

，a3q=

2

3

两式相除可得，

1+q2

q

=

10

3

即3q²-10q+3=0
∴q=

1

3

或q=3
∵数列{a_n}为递增数列且a4=

2

3

∴q=3
∴an=a4?qn-4=

2

3

×3n-4=2?3^n-5
∴bn=log3

an

2

=n-5
∴sn=

-4+n-5

2

?n=

n(n-9)

2

由b_n≤0可得n≤5
（S_n）_min=s₄=s₅=

-4×5

2

=-10
（2）∵b2n-1=2^n-1-5
∴T_n=b₁+b₂+b22+…+b2n-1=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-5n
=

1-2n

1-2

-5n
=2ⁿ-5n-1
∴Tn-1=2n-1-5(n-1)-1
=T_n-T_n-1=2^n-1-5＞0
∴n≥4
即有T₁＞T₂＞T₃＜T₄＜T₅＜…
∴（T_n）_min=T₃=2³-5×3-1=-8

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“等比数列{an}为递增数列，且a4=23，a3+a5=209，数列bn=log3an2（n..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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