已知函数f（x）=x2+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．（1）若n+3m2=0（m＞0），且函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求m的值；（2）若对于任意的实数a∈[1，2]，b-a=1，函数f（x）在区间（a-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．（1）若..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．
（1）若n+3m²=0（m＞0），且函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求m的值；
（2）若对于任意的实数a∈[1，2]，b-a=1，函数f（x）在区间（a，b）上总是减函数，对每个给定的n，求m的最大值h（n）．

试题来源：镇江一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当n+3m²=0时，f（x）=x²+mx-3m²lnx．
则f′(x)=2x+m-

3m2

x

=

2x2+mx-3m2

x

=

(2x+3m)(x-m)

x

．
令f′（x）=0，得x=-

3m

2

（舍），x=m．（3分）
①当m＞1时，

魔方格

∴当x=m时，f_min（x）=2m²-3m²lnm．
令2m²-3m²lnm=0，得m=e

2

3

．（5分）
②当0＜m≤1时，f′（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，
f（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，当x=1时，f_min（x）=1+m．
令m+1=0，得m=-1（舍）．综上所述，所求m为m=e

2

3

．（7分）
（2）∵对于任意的实数a∈[1，2]，b-a=1，
f（x）在区间（a，b）上总是减函数，则对于x∈（1，3），
f′(x)=2x+m+

n

x

=

2x2+mx+n

x

＜0，
∴f′（x）≤0在区间[1，3]上恒成立．（9分）
设g（x）=2x²+mx+n，∵x＞0，
∴g（x）≤0在区间[1，3]上恒成立．
由g（x）二次项系数为正，得

g(1)≤0

g(3)≤0

即

m+n+2≤0

3m+n+18≤0

亦即

m≤-n-2

m≤-

n

3

-6.

（12分）
∵（-n-2）-(-

n

3

-6)=4-

2n

3

=-

2

3

(n-6)，
∴当n＜6时，m≤-

n

3

-6，当n≥6时，m≤-n-2，（14分）
∴当n＜6时，h（n）=-

n

3

-6，
当n≥6时，h（n）=-n-2，即h(n)=

-

n

3

-6，n＜6

-n-2，n≥6.

（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．（1）若..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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