烟囱向其周围散落烟尘造成环境污染．已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比．现有A，B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的-数学试题及答案

1、试题题目：烟囱向其周围散落烟尘造成环境污染．已知落在地面某处的烟尘浓度与..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

烟囱向其周围散落烟尘造成环境污染．已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比．现有A，B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点C，使该点的烟尘浓度最低．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，
由AC=x（0＜x＜20），可得BC=20-x． …（2分）
C处的烟尘浓度y的函数表达式为y=

k

x2

+

k?8

(20-x)2

（0＜x＜20）．…（4分）
求导得y′=-

2k

x3

+

16k

(20-x) 3

=

2k(9x3-60x2+1200x-8000)

x3(20-x)3

…（8分）
令y′=0，得（3x-20）（3x²+400）=0，
∵0＜x＜20，
∴x=

20

3

…（11分）
∵当x∈（0，

20

3

）时y′＜0，当x∈（

20

3

，20）时y′＞0，
∴当x=

20

3

时，y有最小值． …（12分）
故存在点C，当AC=

20

3

km时，该点的烟尘浓度最低．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“烟囱向其周围散落烟尘造成环境污染．已知落在地面某处的烟尘浓度与..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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