将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=(梯形的周长)2梯形的面积，则S的最小值是_____

1、试题题目：将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=

(梯形的周长)2

梯形的面积

，则S的最小值是______．

试题来源：江苏试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设剪成的小正三角形的边长为x，则：S=

(3-x)2

1

2

?(x+1)?

3

2

?(1-x)

=

4

3

?

(3-x)2

1-x2

(0＜x＜1)
（方法一）利用导数求函数最小值．S(x)=

4

3

?

(3-x)2

1-x2

，
S′(x)=

4

3

?

(2x-6)?(1-x2)-(3-x)2?(-2x)

(1-x2)2

=

4

3

?

(2x-6)?(1-x2)-(3-x)2?(-2x)

(1-x2)2

=

4

3

?

-2(3x-1)(x-3)

(1-x2)2

S′(x)=0，0＜x＜1，x=

1

3

，
当x∈(0，

1

3

]时，S′（x）＜0，递减；当x∈[

1

3

，1)时，S′（x）＞0，递增；
故当x=

1

3

时，S的最小值是

32

3

．
（方法二）利用函数的方法求最小值．
令3-x=t，t∈(2，3)，

1

t

∈(

1

3

，

1

2

)，
则：S=

4

3

?

t2

-t2+6t-8

=

4

3

?

1

-

8

t2

+

6

t

-1

故当

1

t

=

3

8

，x=

1

3

时，S的最小值是

32

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：